Klausur WS 08/09

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  • Also die Lösung der Multiple Choice Aufgaben wurde ne Zeit lang auf der Homepage von Mathe zum Download bereit gestellt. Habs im Anhang mal eingefügt, kann ja noch in die Database gestellt werden:



    Nur die Antworten auf die Fragen "Wie viele..." ist noch unklar, da da zwar steht welche Antwort richtig ist, aber nicht welche Aussagen ;)
    Dateien
  • 2b/ Bp= (o, unendlich)

    Bq= [-1, 1)

    c/ ableiten, folgern dass es daraus streng monoton wachsend ist, da immer größer 0

    d/ Umkehrfunktion von p = ln x
    Umkehrfunktion von q = Wurzel (-(x+1)/(x-1) )

    e/ verkettung aus q und p

    arctan = ln (Wurzel (-(x+1)/(x-1)) )

    f/ Grenzwert gleich 1, mit taylorreihe
  • 2b)
    Bp= R
    Bq= (-1,1) -> Jonny, ich denke die -1 Ist da doch nicht dabei, da q(x) für x = 0 nicht definiert
    2c) \(f(x)=\frac {4x}{(x^{2} + 1)^{2}} \) -> Für x>= 0 ist f'(x) positiv
    2d)
    \( p^{-1}=ln(x) \)
    \(q^{-1}=sqrt{\frac {1+x}{1-x}} \)
    e) \(artanh= ln(sqrt{\frac {1+x}{1-x}}) \)
    f) 1, nach L'Hospital
  • so, ich mach mal weiter

    Aufgabe 3:

    a) \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & \alpha^{2} & 4 \end{pmatrix}x = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

    für \( \alpha=2\) folgt S=(-3 1 1)

    b) \(\alpha1=1 \) ---> \(S= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

    \(\alpha2=-1 \) ---> keine Schnittmenge: S={ }

    c) \( \vec x1 = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

    d) \(P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \end{pmatrix} \)

    e) kann ich irgendwie nicht machen, weiß da jemand bescheid?

    f) geht ohne e) nicht

    kann jemand die Ergebnisse bestätigen?
  • jayjayjay schrieb:

    \(q^{-1}=sqrt{\frac {1+x}{1-x}} \)
    e) \(artanh= ln(sqrt{\frac {1+x}{1-x}}) \)
    Da fehlt das Minus vor dem Bruch unter der Wurzel, oder?
  • 3 d)
    zunächst kannst du den Normalenvektor ablesen der ist in dem Fall n=(0,1,-1) normiert bedeutet das mit 1/sqrt(2) Für die weitee Rechnung brauchste allerdings nur den Normalenvektor. Ja und dann nimmst du die Formel auf Seite 36 unten und setzt alles mal da ein und dann kommst du auf eine Matrix die symmetrisch ist.
  • guden!





    soweit ich weiß rechnet man den kern bei der 3e) aus indem man Px = 0 setzt. ich hab da raus:



    kerP = t*(0;1;1)



    formel aus dem skript: bei fixP gilt (P-E)x = 0



    --> fixP = t*(1;0;0)



    kann das jemand bestätigen? in der aufgabenstellung steht nämlich dass man fixP ausrechnet indem man Px = x setzt ?!?!?!



    mfg
  • slangblade schrieb:

    oh ich seh grad hab da fehler eingebaut..



    kerP = t*( 0; -1; 1)



    fixP = t*( 1; 0; 0) + s*( 0; 1; 1) --> also 2 geraden: fixP1 = t*( 1; 0; 0) und fixP2 = s*( 0; 1; 1)



    kann das sein? mich wunderts ein bisschen dass da 2 variablen rauskommen ?!
    hi leute ich glaube hier eine richtige Lösung zu 3e und 3f zu haben

    erstens sind die Lösungen für ker P und fix P richtig, das sind ja drei getrennte vektoren, sie sind aber nun auch die Eigenvektoren der Matrix P(und diese kann höchstens 3 EV haben)!
    das sagt uns aus die Eigenwerte der Matrix P sind 0 und 1(wegen fixpunktgerade). Dies bestätigt sich wenn man die Eigenwerte für P ausrechnet!

    die Matix V besteht aus diesen 3 Eigenvektoren(jeder Vektor pro Spalte), die Sache ist nur die sollen alle der Länge 1 sein, dann bilden sie ein orthonorrmalsystem (zu nachlesen in Skript Seilte 42 5.5)

    so und Vtrasponiert*P*V=D wobei in der D alles Nuller sind ausser in der Diagonale da stehen die Eigenwetrte (1,1,0) ( in Skript S. 43 5.9)

    hoffe das bringt noch was so kurz vor der Klausur :)
  • chrisinffm schrieb:

    so, ich mach mal weiter

    Aufgabe 3:

    a) \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 1 & \alpha^{2} & 4 \end{pmatrix}x = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \)

    für \( \alpha=2\) folgt S=(-3 1 1)

    b) \(\alpha1=1 \) ---> \(S= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + t \begin{pmatrix} -5 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \)

    \(\alpha2=-1 \) ---> keine Schnittmenge: S={ }

    c) \( \vec x1 = \begin{pmatrix} \alpha \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + r \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\)

    d) \(P= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \\ 0 & 0,5 & 0,5 \end{pmatrix} \)

    e) kann ich irgendwie nicht machen, weiß da jemand bescheid?

    f) geht ohne e) nicht

    kann jemand die Ergebnisse bestätigen?
    Gruß!
    Hallo!
    Zur 3d: Muss ich den Normalenvektor der Ebene nehmen oder einen Vektor der die Ebene aufspannt für die Anwendung der Formel Skript S. 36
  • mmoli schrieb:

    Hallo!
    Zur 3d: Muss ich den Normalenvektor der Ebene nehmen oder einen Vektor der die Ebene aufspannt für die Anwendung der Formel Skript S. 36
    Den Normalenvektor kannst du ja eigentlich direkt aus E2 ablesen: n= \( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \) , dann nur noch normieren usw.