Fluss eines Vektorfeldes - SoSe '15 Aufgabe 2c)

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  • Fluss eines Vektorfeldes - SoSe '15 Aufgabe 2c)

    Hey,
    ich hänge gerade an folgender Aufgabe und habe irgendwie keinen Plan, wie man da rangeht:

    Gegeben ist die Parametrisierung \(X(u,v) = \left( \begin{array}{c} u\cdot\cos(v) \\ u\cdot\sin(v) \\ u \\ \end{array} \right) \)


    \(0\le u \le1, 0\le v \le2\pi\) einer Fläche F.

    Bestimmen Sie das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen und berechnen Sie den Fluss \(\phi\) des Vektorfelds \(V(x,y,z) = [0, 0, 1]^T \) durch F von unten nach oben.
  • Hey wenn ich mich nicht Irre ist hier das entscheidende Schlagwort der Gaußscher Integralsatz, genauer gesagt das Oberflächenintegral stellt den Gesamtfluss des Vektorfelds V durch die Fläche X dar (vgl. Skript 22.13 und 22.14).

    Wenn du dieses Oberflächenintegral lösen willst brauchst du zum einen das Vektorfeld, welches in der Aufgabenstellung gegeben ist und zum anderen den Normalenvektor (welcher zu gleich auch die betrachtete Flussrichtung angibt). Da wir im ersten Teil bereits das Kreuzprodukt der partiellen Ableitungen gebildet hast brauchst du nur unter Berücksichtigung der Formel 22.8 den gebildeten Vektor normieren.

    Hast du den Normalenvektor ausgerechnet, geht es jetzt an das ausrechen des Oberflächenintegrals wobei sich hier die Lösung mit Hilfe der Polarkoordinaten anbietet .

    Hoffe das macht die Aufgabe etwas anschaulicher und verständlicher :)
  • Ich komme auf:

    \(X_u(u,v) \times X_v(u,v) = \left( \begin{array}{c} -u\cdot\cos(v) \\ -u\cdot\sin(v) \\ u \\ \end{array} \right)\)

    \(\int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{array} \right)\cdot\left( \begin{array}{c} -u\cdot\cos(v) \\ -u\cdot\sin(v) \\ u \\ \end{array} \right) d(u,v)\)

    \(= \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} u d(u,v) = \pi\)

    Ich hoffe das stimmt so