implizite Bindungsgleichungen eines Systems

  • Ich habe mal versucht eine allgemeingültige Faustregel zum erstellen von impliziten Bindungsgleichungen von Systemen aufzustellen.
    Würde mich interessieren, ob ihr mir damit zustimmt bzw. Ergänzungen habt.


    Faustregeln für implizite Bindungsgleichungen eines Systems:


    1. Regel: man Muss Bindungsgleichungen immer an den Gelenken aufstellen.
    2. Regel: der direkte Weg (r_a) führt zum betrachtetem Gelenk. Der indirekte Weg (r_b) führt über den (zum Gelenk) nächstgelegenen Schwerpunkt S zum betrachtetem Gelenk.
    3. Regel: Der indirekte Weg vom Ursprung zum nächstgelegenem Schwerpunkt S sollte die kürzeste sein. Sollte über Umwegen ein weiterer Gelenk zu diesem Schwerpunkt S führen, kann man diesen Gelenk überspringen und direkt zum S übergehen.
    Dies gilt allerdings nur zum Überspringen von EINEM Gelenk. Zwei hintereinanderliegende Gelenke dürfen nicht beide übersprungen werden, da zwischen ihnen ein Schwerpunkt liegt.
    (4. Regel: liegt der Ursprung in einem Gelenk, darf man keine weiteren Gelenke überspringen, da bereits durch den Ursprung ein Gelenk zwangsläufig übersprungen wird. Andernfalls verletzt man Regel 3.)



    Bei Regel 4 bin ich mir allerdings nicht ganz sicher....


    Ich erfreue mich auf Rege Beteiligungen :)

  • Ich hab deine Regeln nicht ganz verstanden. Ich verstehe auch nicht was du mit überspringen der Gelenke meinst bzw wieso das wichtig sein sollte.
    Ich hab mir das so gedacht bei den impliziten Bindungsgleichungen:


    Du willst die "nicht freien Größen" aus dem Lagevektor herausfinden (damit du weißt, wie sich das System bewegt wenn du deinen Freiheitsgrad antreibst. Sprich: du drehst/schiebst an einer Seite von deinem System und willst sehen was auf der anderen Seite passiert) . Dazu gibts folgende Möglichkeit:


    1. Schnitt am Ursprung: Vektorkette vom Ursprung zum ersten Schwerpunkt (S1) und wieder zurück. (Dann bekommst du die x-, und y- Koordinaten von S1 in Abhängigkeit von phi1)
    2. Schnitt am ersten Gelenk: Vektorkette "von links" (diese Vektorkette geht über S1) = Vektorkette "von rechts" (diese Vektorkette geht über S2, weil ich ja die x- und y-Koordinaten von S2 auch haben will. Die Koordinaten sind abhängig von phi2)
    3. Schnitt am zweiten Gelenk: Vektorkette "von links" (diesmal über S2) = Vektorkette "von rechts" (diese Vektorkette geht direkt zum Gelenk). Dadurch haben wir nochmal eine Abhängigkeit der Koordinaten von S2 zu phi2
    4. Durch Anschauung ergeben sich manchmal Koordinaten die =0 sind. z.B: horizontales Schubgelenk y=0


    Wichtig ist, dass man bei den Vektorketten über die Schwerpunkte geht, damit man so einen Zusamenhang zwischen den Größen bekommt. Je nach Aufgabe muss man die Vektorkette evtl. in einem anderen System aufstellen, damit nicht bekannte Größen wegfallen.

  • Ich arbeite immer folgende Schritte ab, um die impliziten Bindungsgleichungen aufzustellen:


    1.) Berechnung des Freiheitsgrades des Systems, um letztendlich auf die Anzahl der notwendigen Bindungsgleichungen
    zu kommen (im ebenen Fall: Anzahl Bindungsgleichungen=3*Anzahl Körper - Freiheitsgrad)


    2.) jeweils stückweise ein Schnitt an jedem Gelenk, wo ich wie fahro0 immer Vektorzüge einmal von links und von rechts vom Gelenk
    aufstelle und diese gleichsetze. Wichtig ist dabei, dass man auch berücksichtigt, was für ein Gelenk man hat. Dabei orientiere
    ich mich an der Folie 40 aus dem Kapitel 3. Bei Drehgelenken geht man mittels zwei verschiedenen Vektorzügen heran, die man letztendlich gleichsetzt. Es ergeben sich folglich zwei Bindungsgleichungen (im ebenen Fall), da das Drehgelenk nur einen Freiheitsgrad hat. Wenn man allerdings ein Drehschubgelenk hat, welches zwei Freiheitsgrade hat, muss man die Vektorzüge gleichsetzen und von links mit dem Einheitsvektor multiplizieren, der senkrecht zur Schubebene steht bzw. man zieht die
    beiden Vektorzüge voneinander ab und multipliziert mit diesem Vektor und setzt es null. Dadurch ergibt sich dann allerdings eine Bindungsgleichung an diesem Gelenk und nicht zwei. Worauf ich hinaus will, ist die Tatsache, dass man die Art des vorliegenden Gelenks bei der Bildung der impliziten Bindungsgleichungen berücksichtigen muss. So müssen (denke ich zumindest, korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege) im ebenen Fall, den wir ja meistens vorliegen haben, immer ng= 3-fgi Bindungsgleichungen pro Gelenk aufgestellt werden.


    3.) Die restlichen Bindungsgleichungen ergeben sich durch reine Anschauung (z.B. bei einem reinen Schubgegelenk oder bei einer Führung)


    4.) Abchecken, ob man letztendlich am Ende so viele Bindungsgleichungen hat, wie man es zuvor berechnet hat.

  • so macht das ganze auch sinn, hab mich immer gefragt wozu diese zusätzlichen Vektoren, die von links multipliziert werden, gut sein sollen :D
    vielen dank!


    Aber woher weiß ich mit welchem Einheitsvektor ich multiplizieren muss? Das müsste dann egal sein, solange es nicht die Drehachse des Drehschubgelenks ist?

  • Leider ist es nicht egal, welchen Einheitsvektor man nimmt, da ja skalar multipliziert wird und dies wesentlich
    die Gestalt der Bindungsgleichungen beeinflusst. Allgemein muss dieser Vektor senkrecht zur Schubebene sein (die Drehachse
    liegt ja in der Schubebene). Im räumlichen Fall wäre es tatsächlich egal, ob ich ex oder ey nehme, wenn die Drehachse ez ist.
    Im ebenen Fall, womit wir ja eigentlich so gut wie immer konfrontiert werden, bleibt ja letztendlich nur noch ein Einheitvektor
    übrig, der senkrecht zur Drehachse ist. Also immer den Vektor nehmen, der senkrecht dazu steht.

  • Erst mal super, dass ihr euch an der Diskussion beteiligt.


    zum Thema: Ich habe natürlich vorausgesetzt, dass man bei der von mir oben beschriebene Methode die Folie 40 verstanden und anwenden kann. Und dies setzt natürlich auch vorraus, dass man von "links" (r_a) und von "rechts" (r_b) die Vektorielle Addition durchführt.


    Eure"linke Seite" (r_a) habe ich den "direkten Weg (r_a) genannt und die "rechte Seite" den indirekten Weg (r_b). Allerdings bin ich mir ziemlich sicher, dass die Bindungsgleichungen um die Gelenke herum gelegt werden (wie auch im Skript) und nicht um ein Schwerpunkt wie das von fahroO gesagt wird. Denn dein Schwerpunkt in deiner Bindungsgleichung ergibt sich nur dadurch, weil wie von mir oben beschrieben der "indirekte Weg" (rechte Seite) über dem Schwerpunkt S zum Gelenk führt.


    Die Theorie von _sr_ ist grundsätzlich korrekt.
    Mit ng= 3-fgi kann man tatsächlich "ausrechnen" (was auch mit bloßem hinsehen funktionieren müsste) wie viele Bindungsgleichungen ein einzelner Gelenk hat - Übrigens hier wird wieder deutlich, dass Bindungsgleichungen um Gelenke und nicht um Schwerpunkte gelegt werden.


    Allerdings kann man mit der Formel nz = 3*nk - f nicht immer zuverlässig ausrechnen wie viele Bindungsgleichungen das System insgesamt hat. Denn Bspw. geometrische Bindungen werden in der Gleichung nicht abgedeckt. Zudem besteht bei der Formel das Problem des "redundant constrains", da man f mit der Grübler ausrechnen muss.

  • Und nein fahroO ich bin mit deiner Regel 2 nicht wirklich einverstanden. Es gibt duzende Beispiele in den Übungen bei denen das anders gemacht wird. Klar geht man zwangsläufig über S1 falls dieser im Weg liegt, aber wenn S1 einen Umweg kostet, nimmt man das nicht in Kauf.


    im Grunde macht man an allen Gelenken nur folgende Gleichung (manchmal noch multipliziert mit einem Eigenvektor):


    "links" direkter Vektor (r_a) zum Gelenk = indirekter Vektor zum Gelenk über den nächstgelegenen Schwerpunkt S "rechts"


    Dies entspräche Regel 2 und der Anfangsteil von Regel 3 von mir.

  • Hab jetzt auch verstanden was du gemeint hast und glaube, dass deine Regeln so stimmen.
    Nur glaube ich, dass man auch 2 Gelenke überspringen kann. Man hat dann nämlich auch einen zusätzlichen Schnitt an einem Gelenk, über den man dann die Koordinaten des "übersprungenen" Schwerpunkts berechnen kann. Man muss dann nur systematisch vorgehen um keinen Schwerpunkt zu vergessen, bzw nicht einen Schwerpunkt doppelt "anzufahren"
    Wobei bei einem System mit 3 Körpern die Position eines Körpers durch die anderen Körper festgelegt wird glaube ich.
    aber das ganze wird jetzt zu theoretisch

  • @Armin.s jetzt verstehe ich auch endlich, was du meintest :D


    Eigentlich meinte ich auch, dass die Bindungsgleichungen immer um die Gelenke aufgestellt werden (jeweils einmal pro
    Gelenk schneiden und die Vektorzüge einmal von links und von rechts vom Gelenk aufstellen). Und zur Problematik mit der
    Anzahl der Bindungsgleichungen: Da hast du vollkommen, über den Gesamtfreiheitsgrads des Systems auf die Anzahl der
    notwendigen Bindungsgleichungen zu kommen, funktioniert leider nicht immer. Das aber nur dann, wenn man die geometrischen Bindungen, die man hat, nicht in die Formel von Grübler einfließen lässt. Ein Beispiel dafür ist die Klausur vom SS 15: Das System
    hat zwei Körper, ein Drehgelenk und ein Drehschubgelenk. Der untere Körper ist vertikal geführt. Wenn man den Freiheitsgrad
    des Systems ohne Berücksichtung der vertikalen Führung berechnet, kommt man auf f=3, folglich würde es nur 3 Bindungsgleichungen geben. Es ist jedoch durch reine Anschauung ersichtlich, dass das System einen Freiheitsgrad hat und nicht 3. Wenn man nun die Führung wie ein reines "Schubgelenk" behandelt und es nun in der Rechnung berücksichtigt wird, kommt man auf f=1 und somit auf 5 Bindungsgleichungen. Man kann geometrische Bindungen als Bindungen durch Gelenke formulieren und in Grübler einfließen lassen, dann müsste es mit der Berechnung der Anzahl der Bindungsgleichungen funktionieren.


    Jetzt zu deinen Regeln:


    1.) Stimme ich dir vollkommen zu.
    2.) Du beschreibst ja die linke Seite als den "direkten Weg" und die rechte Seite als den "indirekten Weg", der über den nächstgelegenen Schwerpunkt zum Gelenk führt. Allerdings glaube ich, dass beide Wege, also sowohl direkt und als auch indirekt über Schwerpunkte des Systems zum Gelenk führen. So führt der linke Vektorzug über den nächstgelegenen Schwerpunkt links vom Gelenk und der rechte Vektorzug über den nächstgelegenen Schwerpunkt rechts vom Gelenk zu dem Gelenk, wo geschnitten wird.
    Das heißt, dass Bindungsgleichungen vorliegen können, die die Schwerpunktskoordinaten von zwei verschiedenen Schwerpunkten beinhalten (siehe Klausur WS14/15). Ich weiß jetzt nicht ganz genau, ob der direkte Weg, den du beschrieben hast, ebenfalls über einen Schwerpunkt führt. Ich wollte es einfach nur noch einmal hier angemerkt haben.
    3.) Da stimme ich dir auch zu, immer den Schwerpunkt nehmen, der als nächstes zum Gelenk liegt, um unnötige Umwege zu vermeiden. Die Vorschrift, die ich in 2.) formuliert habe, sagt ja prinzipiell genau das aus. Allerdings denke ich auch, dass man zwei Gelenke "überspringen" darf. Solange man wie in der 2.) beschrieben vorgeht, werden ja letztendlich keine Schwerpunkte vergessen.
    4.) verstehe ich leider immer noch nicht :D

  • Hätte noch eine Frage zu den Implizieten Gleichungen.
    Bei mir habe ich in einer Altklausur die VZ alle mit -1 multipliziert rausbekommen. (aber nur bei g3 und g4) Mathematisch gesehen bleibt die Gleichung korrekt, nur halt mit -1 multipliziert auf beiden Seiten, weil ich sozusagen die andere Seite (den rechten Weg) als positiv angenommen habe. Dadurch verändern sich aber auch alle eingeprägten Kräfte und Momente ändern (nur bei gr und g4), also zumindest das VZ, was dann aber zu unterschiedlichen Bewegungsgleichungen führt.


    Gibts da irgendeine Konvention, zb. soll der r_s1 immer positiv stehen in den Bindungsgleichungen oder sowas?

  • Ich weiß nicht, ob es da eine Konvention gibt, allerdings dürfte es nicht falsch sein, wenn die eine oder andere
    Gleichung mit -1 multipliziert wurde. Deine Reaktionskräfte und Reaktionsmomente ändern sich natürlich dadurch
    (die eingeprägten nicht), aber wenn man dann die Lagrangefaktoren ausrechnen würde (was ja in der Klausur normalerweise
    nicht verlangt wird), würde sich das -1 ja dort aufheben. Ich denke nicht, dass es falsch ist.