Koordinatentransformation auf Einheitsquadrat

  • Hallo zusammen,


    mir ist leider nicht so ganz klar woher ich weiß welchen Punkt meines gegeben Parallelogramms ich auf welchen Punkt des Einheitsquadrates transformieren muss, bzw habe ich dafür kein festes Muster gefunden aus den beiden Übungsaufgaben Ü5 A2 und Ü6 A5.


    Bildschirmfoto 2019-07-14 um 21.33.21.png

    also ich komme ja auf verschiedene Ergebnisse der Transformationsformel wenn ich in diese Gleichung jeweils andere Punkte einsetze und z.B. die rechte untere Ecke oder die linke untere ecke des gegebenen Parallelogramms auf den Ursprung transformiere


    ich hoffe ich konnte mein Problem verständlich erklären und jemand kann mir weiterhelfen, vielen dank schonmal!

  • Hallo,


    im Prinzip gibt es hier kein richtig und falsch. Mmn ist es aber einfacher wenn man wie bei Ü6 A5 vorgeht und die linke untere Ecke des Elements immer in den Koordinatenursprung des Einheitsquadrates legt, sprich (0,0). Dann hast du später keine Probleme mit den Ecken bzw. der Transformation von f(x,y).

  • Moin, wie du Transformierst ist eigentlich egal. Als Beispiel dessen berechne ich mal die lokale Formfunktion bei der Ü6A5 (N^5_2).


    Generell würde ich mit den Formeln aus dem Übungsskript auf Seite 51 rechnen. Das sind dann die Formeln (3.10), welche zur Abbildung 3.1 gehören für die Transformation und die Formel (3.11), welche zur Abblidung links der Formel gehört. Achtung, die Nummerierung ändert sich von (3.10) zu (3.11).


    Wenn man bei Ü6A5 wie in der Musterlösung den globalen Punkt 8 auf den Ursprung transformiert kommt man auf xi=x+y-3,eta=y-1. Da der Punkt 8, von dem man ja die lokale Formfunktion wissen will, unten links liegt, nimmt man nach (3.11) N^e_1. --> N^e_1 = 8-6y-2x+xy+y^2.


    Wenn man, wie es in Ü5A2 gemacht wurden, den Punkt bei dem die Nummerierung startet, auf den Ursprung legen will, dann muss man für (3.10) x1=3, x2=2 (das ist der globale Knoten 10), x3=2 (gl. Knoten 8) und y1=1, y2=2 und y3=1 einsetzten. Dann kommt man auf xi=y-1 und eta=4-x-y. Für die lokale Formfunktion muss man jetzt nach (3.11) N^e_4 benutzen, weil man die lokale Formfunktion vom globalen Knoten 8 wissen will, und dieser Knoten jetzt links oben liegt, in der Nummierierung von (3.11) ist links oben 4. Also N^e_4 = (1-xi)*eta = 8-6*y-2*x+x*y+y^2.


    Man sieht also, dass es egal ist, in welcher Reihenfolge man welchen Knoten wohin transformiert, solange man den Überblick behält, welcher globale Knoten wo liegt.

  • Moin,

    also bin gerade dabei, Ü6A5 mal nach der Übungsskript-Transformation zu berechnen und komme schonmal auf dieselben Gleichungen für x und y, wie "craicy" hier oben. Im weiteren Verlauf von A5 soll ja der Wert von b5,2 berechnet werden. Dafür werden auch die Integrationsoperatoren dx und dy transformiert/umgerechnet. Das geschieht, indem man dx/d(xi) und dy/d(eta) berechnet und dann nach dx bzw. dy umstellt - oder?

    Bei dy/d(eta) kommt aber 0 raus ( y=1+xi abgeleitet nach eta ergibt 0) !


    Nach Umstellen hieße das, dy=0, damit wäre aber das ganze Integral Null. Hä. Es soll doch 2/3 herauskommen?


    Deshalb die Frage an craicy , was hast du im transformierten Integral für dy eingesetzt?


    Danke schonmal, ich verzweifel hier ein bisschen.


    Gruß

  • Ah ja sry, da hatte ich mich vertan. Da y=1+xi, du hast recht.

    Um von einem Integral von dxdy auf dxideta zu kommen, braucht man die Funktionaldeterminante. Die ist auch immer gleich der Fläche vom Viereck. Man braucht also dxi/dx, dxi/dy, deta/dx und deta/dy. Das ist 0,1,-1,-1. Als Determinante kommt dann 1 raus.


    Das setzt du dann in dein Integral rein, da kommt das und dann das raus, stimmt also mit dem Ergebnis überein.

  • Hey vielen Dank, das hat schonmal sehr geholfen. Ich antworte jetzt erst, da ich mich heute erst dran gesetzt habe. Das Ergebnis passt!

    Allerdings - habe dieselbe Methode eben auf die Klausuraufgabe 4 aus dem WiSe 11/12 angewandt. Mein Ergebnis ist 35/12, das entspricht nur leider nicht der Lösung, die mir vorliegt (Siehe Anhang).


    Nach "deinem" Schema habe ich wie folgt transformiert:

    (x,y) I (xi,eta)

    -----------------

    (2,2) I (0,0)

    (3,2) I (0,1)

    (3,1) I (1,1)

    (2,1) I (1,0)


    Demnach bekomme ich x=2+eta und y=2-xi. Da der Knoten U8 nach meiner Transformation im Ursprung (links unten) liegt, lese ich im Übungsskript S.51 ab, dass N(e)= (1-xi)*(1-eta) sein muss. (((Komischerweise wurde in der beiliegenden Lösung dasselbe N(e) benutzt, obwohl U8 nach der dortigen Transformation links oben liegen müsste? )))

    Meine Funktionaldeterminante = 1.

    Alles in das doppelte Integral eingesetzt - also 3*(2+eta)(2-xi)(1-xi)(1-eta)*1 und es kommt 35/12 raus.

    Falls du Zeit dafür hast, wäre ich dir sehr dankbar, wenn du mal drüberschauen könntest. Bin mal wieder am verzweifeln. Der Klassiker, man denkt, man hat es verstanden und dann sowas.


    Viele Grüße!

  • Die Lösung die du angehängt hast, hat den Punkt (2,1) auf (0,0) gemappt und dann die lokale Formfunktion an (0,0) genommen, also hat die Lösung den globalen Knoten 7 berechnet und nicht 8.


    Mit der Transformation aus der Lösung hätte man N=(1-xi)eta nehmen müssen. Da wäre dann

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+3*%282%2Bx%29*%281%2By%29*%281-x%29*y+dx+from+0+to+1

    https://www.wolframalpha.com/input/?i=integral+of+7%2F2+y+%281+%2B+y%29+dy+from+0+to+1

    rausgekommen, also auch deine (richtige) Lösung.


    Hier war also die Musterlösung falsch.


    Grüße

  • Okay, das klingt super. Ich dachte mir schon, dass da mit der Lösung was nicht ganz stimmt. Danke für's Nachrechnen, weiß ich zu schätzen.

    Habe eben nochmal die "anderen" Klausuraufgaben zu diesem Typ verglichen. Anbei die sortierten Dateien mit Aufgaben und Lösungen. Abgesehen vom WiSe 12/13 (hier hat man in der Lsg ausversehen für E3 berechnet) wurde in den Lösungen IMMER derselbe Fehler gemacht. Kann das sein? :

    Die N(e)'s in der Lösung wurden immer ausgehend davon berechnet, dass die "Startecke" in den Nullpunkt transformiert wird. Soweit so gut. (Zumindest hab ich das bisher auch immer so gemacht). ABER der Lösende hat zuvor statt der Startecke immer die *linke untere* Ecke in den Nullpunkt transformiert. (Allerdings die N(e)'s bzgl. *Startecke in den Nullpunkt* verwendet.) Hä?


    Da es so viele Aufgaben sind, die falsch gelöst wären, dachte ich, ich frag mal. Zumal Die Downloads dieser Lösung schon die 1000 übersteigen.

    Danke erneut!

    Vlt kannst du ja mal ein Statement abgeben

  • Ich hab jetzt nicht alles angeschaut. SS02_4 sieht richtig aus, bei SS07_4 müsste man bei der Transformation (1-xi)(1-eta) nehmen, hier ist aber noch ein Fehler - es wurde für 2y im Integral das y falsch eingesetzt.

    Bei S11_4 ist auch die falsche Formfunktion, da muss xi(1-eta) stehen. SS13_3 scheint wieder zu stimmen. Bei WS0708_4 muss (1-xi)eta nehmen. Bei WS1112_4 müsste die Formfunktion (1-xi)eta sein.


    Also ja, da sind schon viele Fehler.

  • Okay, danke dir. So wie es aussieht, hat derjenige gedanklich die *Startecke* in den Ursprung transformiert. Dann würden seine Formfunktionen immer stimmen. Nur hat er dann seine tatsächliche Transformation anders gemacht.


    Und du bist dir 100% sicher, dass dein Vorgehen das richtige ist, und derjenige es falsch hat? Wundert mich, dass ich der erste bin, dem das auffällt.

    Eine kurze Bestätigung wäre super. Dann werde ich es mir so merken.


    Danke nochmal

  • Ja was heißt denn "mein Verfahren"? Ich habe das so gemacht, wies im Übungsskript in der Lösung angegeben ist.

    Man muss eigentlich nur auf die Nummerierung von den Punkten vom Quadrat achten, dass diese nicht im Uhrzeiger oder gegen den Uhrzeiger sinn ist, sondern wie in Abbildung 3.1 auf S.51 dargestellt und dass das mit Gleichung 3.10 zusammenhängt. Und welche lokalen Formfunktionen man nehmen muss kann man sich auch sofort herleiten, weil die Formfunktion 1 sein muss, wenn man die Koordinaten des Eckpunktes einsetzt und 0 bei den anderen Punkten.


    Ich war die letzten Jahre 2 mal Tutor in dem Fach hier, ich bin mir schon sicher. Wenn du noch eine Absicherung brauchst, kannst du ja zur Sprechstunde gehen oder gleich dem Felix Köhler, er betreut das Fach, eine Mail schreiben.


    Gruß