WiSe 16/17 Aufgabe 3b) Berechung der Beschleunigung

  • Hallo,

    ich hätte da eine Frage bezüglich der Aufgabe 3b)

    Bei der Berechnung der Beschleunigung r_s2 im System 1 relativ zu 0 wird die Summe aus der Beschleunigung bzgl. System 1 plus das eine Kreuzprodukt gebildet. Wenn ich mir jetzt die Formel für die Beschleunigung in der Formelsammlung Seite 18 angucke, müssten da noch ein paar zusätzliche Terme folgen. Ich habe diese aufgeschrieben, mir ist aber immernoch nicht klar, wieso sie laut der Lösung einfach Null sind bzw. nicht berücksichtigt werden.

    Ich blicke bei den relativen Zeitableitungen und den Indizes noch nicht ganz durch und würde mich daher über eine ausführliche Erklärung freuen.

  • Hallo,

    das funktioniert auch mit der Formel für die Beschleunigung auf S.18, man muss nur beachten, dass man überall das richtige einsetzt. Die komplette Formel muss im 1er System ausgewertet werden, da man die Beschleunigung im 1ser System benötigt, da die Jakobimatrix im 1ser System gefragt ist.


    a_10 ist, wie dort angegeben die Beschleunigung r_S10, dargestellt im 1ser System. Die erhält man aus der a) indem man das dort berechnete Beschleunigung aus dem 0er ins 1ser System transformiert: (S''cphi1+w''sphi1;-s''sphi1+w''cphi1;0)

    a_21 ist die relative Beschleunigung von S2 gegenüber S1, dargestellt und abgeleitet im 1ser System. Dazu braucht man zuerst r_S2S1: (lsphi2;0;l+lcphi2), dargestellt im 1ser System. Wenn man das jetzt 2mal ableitet bekommt man a_21 im 1ser System: (-lsphi2phi2'^2+lcphi2phi2'';0;-lcphi2phi2'^2-lsphi2phi2'')

    w_10 ist einfach (0;0;phi1')

    v_21 ist r_S2S1 abgeleitet im 1ser System, dargestellt im 1ser System. Das haben wir schon aus der Berechnung von a_21: (lcphi2phi2';0;-lsphi2phi2')

    a_10 ist einfach (0;0;phi1'')

    und r_21 ist r_S2S1 im 1ser System. Das steht schon oben.


    Wenn man das alles ausrechnet kommt man auf das richtige Ergebnis. Der Beschleunigungsterm a* ist dann einfach alles das, wo keine 2.Ableitung vorkommt.


    Es gibt übrigens noch einen Weg, wie man auf a_20 kommt: r_S20 im 0-er System darstellen, 2 mal ableiten damit man die Beschleunigung zum 0er System hat und dann mit der Transformationsmatrix ins 1ser System transformieren. Das klappt auch, ist aber viel schreibarbeit.


    Oder man geht den Weg aus der Musterlösung, das ist die Formel auf S.16 mit v_S20 als r Vekto, dargestellt im 1ser System.

    Die Terme die du nach der Formel S.18 hat sind also in der Lösung nicht Null, sondern sie nehmen eine andere Formel.


    Das mit den Indizes bei den relativen Zeitableitungen ist so: Wenn du einen Vektor hast, dargestellt in einem beliebigem System i, und den nach der Zeit ableitest, dann ist das die Ableitung relativ zu i, links unten muss also der Index i stehen.

    Das was links oben bei einem Vektor steht, die Angabe des Systems in dem der Vektor dargestellt ist, sagt aus, in welchem System der gleiche Vektor dargestellt ist. 1^r_S10 und 0^r_S10 ist der gleiche Vektor r_S10, nur in 2 Systemen dargestellt. Das ist bei der relativen Zeitableitung nicht mehr so.

    Man kann also nicht einfach zwischen 2 Systemen mit der Transformationsmatrix hin und her transformieren, sondern braucht die Formel auf S.16, die zwischen zwei relativen Ableitungen hin-und-her transformiert, unabhängig von dem System in dem die Gleichung dargestellt ist.


    Und dann ist noch wichtig, dass wie bei der Klausuraufgabe hier, die Jacobi Matrix immer für die Absolutbeschleunigung ist, d.h. dass die relative Zeitableitung gegenüber dem 0er System gebildet ist. Heißt also, das a_S20 was man bei der b) berechnen muss, ist die Beschleunigung vom Punkt S2 gegenüber dem System 0.

    Immer wenn a für Beschleunigung oder v für Geschwindigkeit steht, dann ist in der Formelsammlung der Index für die relative Ableitung weggelassen. Die Konvention ist hier, dass es sich immer auf das Ausgangssystem bezieht. Heißt: a_21 ist eigentlich: 1r''_21, also mit Ableitung bzgl. 1ser System. a_20 ist 0r''_20, Ableitung bzgl. 0er System.


    Hoffe das wurde verständlich.

    Grüße gehen raus.

  • Hallo,


    ich bedanke mich craicy für die wirklich ausführliche Erklärung.

    Mir war gar nicht bewusst gewesen, dass in der Lösung die Formel auf der Seite 16 und nicht die auf der Seite 18 verwendet wurde. Jetzt ergibt das auch endlich Sinn.
    Du hast ja beschrieben, wie man es mit der Formel auf Seite 18 machen kann, also habe ich das mal durchgerechnet und es ging gut auf.


    Bevor ich in die Musterlösung geguckt habe, hatte ich diese Aufgabe, und auch andere, somit gelöst, dass ich den Ortsvektor, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung im 0er System aufstelle, dann mit der Transformationsmatrix transformiere und so die Jacobimatrix etc. ablesen kann. Mir persönlich ist dieser Weg intuitiver und weniger anfällig dafür, dass ich was vergesse, auch wenn die Terme länger und somit anfälliger für Fehler werden.


    Ich lade mal beide Lösungswege hoch für die Gemeinschaft. Vielleicht hilft das ja irgendwem noch ^^


    Dein letzter Hinweis bezüglich der relativen Zeitableitung ist die letzte Information gewesen, die mir gefehlt hat, um das alles besser zu verstehen. Daher noch einmal ein großes Dankeschön für die ausführliche Erklärung. :)