Servus,
kann mir einer von euch sagen, wieso hier "nur" 2 grenzstabile Pole und nicht 4 vorliegen?
Die Übertragungsfunktion des offenen Regelkreises lautet:
Offenbar existiert hierfür eine doppelte Polstelle im Ursprung und zusätzlich noch ein konjugiert komplexes Polstellenpaar bei s3/4=+-i, was für mich 4 grenzstabile Pole macht.
Weiß Jemand wo der Denkfehler liegt?
LG
Mit freundlichen Grüßen
Servus,
danke schonmal für die Antwort, genau das ist das Problem, in der Musterlösung steht folgendes dazu:
Offenbar haben wir aber 4 grenzstabile Pole, sodass nach dem allgemeinen Nyquist phi_soll =2*pi und nicht pi sein müsste:
LG
Für die Polstellen schaust du dir besser die Übertragungsfunktion an, nicht den Frequenzgang.
-N_o(s) = (1+s)*s^2
Dieser hat zwei grenzstabile Polstellen.
Die Polstelle im Ursprung ist eine Polstelle aber mit algebraischer Vielfachheit k=2 (wegen dem Quadrat).
Mathematisch macht es Sinn sich klar zu machen, dass F(s) genau der Lapalace-Transformierten der Gewichtungsfunktion entspricht F(s)=L { g(t) }.
Ein lineares Übertragungsssystem heisst asymptotisch stabil wenn folgendes gilt: lim t->inf ( |g(t)| )=0. Instabiltät folgt den nach wenn der Grenzwert gegen Unendlich strebt.
Grenzstabilität bedeutet in diesem Kontext wenn der Grenzwert gegen einen festen Wert konvergiert.
Das ganze hilft einem jetzt erstmal wenig gebe ich zu, aber aus der Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen ist bekannt (kann man sich z.B. in jedem Lehrbuch für gew. Dgl. anschauen), dass die Gewichtungsfunktion aus der Funktion F(s) wie folgt hervorgeht: g(t)= ci * tr * esi*t.
si ist dabei unsere Polstelle mit si=Re{si}+jwi und einer komplexen Konstante ci & der Exponent von t, r=k-1. Bildet man jetzt den Betrag kürzt sich der Imaginärteil heraus (deshalb ist auch nur der Realteil der Pole wichtig für die Stabilität).
Also folgt erstmal:
|g(t)|= |ci| * tr * eRe{si}*t.
Wichtig für deine Frage ist jetzt was passiert bei der Grenzwertbildung: lim t->inf ( |g(t)| ).
Also sind lediglich die Faktoren tr & eRe{si}*t interessant. Strebt (t) gegen unendlich geht die Exponentialfunktion nur gegen Null wenn der Exponent negatives vorzeichen hat
( also Realteil si < 0) und dies stärker als tr für alle r.
Wenn der jetzt der Realteil gleich Null ist kommt es darauf an was mit tr passiert. r=k-1, dabei ist k die Vielfachheit der Polstelle. Deshalb ist z.b. ein einfacher Pol und ein komplex konjugiertes Polpaar auf der Imaginären-Achse Grenzstabil ( tk-r wird zu t0=1 & das komplex konjugierte Polpaar kürz sich heraus bei der Betragsbildung).
In dem Fall das System ist instabil, denn |g(t)|= |ci| * t1 wächst ins unendliche.
Zu deiner Eigentlichen Frage (sorry für's so weit ausholen, aber ich glaube so versteht man es wirklich und es fällt nicht irgendwas durch zauberei vom Himmel):
Da für die Untersuchung der Stabilität die komplex-konjugierten Pole keine Rolle spielen wird der Pol im Ursprung mit seiner entsprechenden Vielfachheit gezählt ist k=2 ist p=2 od. k=3 -> p=3 etc.
Bitte beachten ich bin auch nur Student also keine Gewähr auf Richtigkeit, aber so habe ich es verstanden kann man z.b. im Unbehauen im Kapitel "algebraische Stabilitätskriterien" nachlesen.
