Juli 2018 4c

  • Die Rechenregeln zur Berechnung des Betrages r und der Phase 𝜑 einer komplexen Zahl kann man sich am besten an der Eulerform herleiten:


    z1 = r1 * ej𝜑1

    z2 = r2 * ej𝜑2


    Für das Produkt komplexer Zahlen gilt also:

    z = z1 * z2 = r1 * r2 * ej(𝜑1 + 𝜑2)

    Das heißt Beträge können multipliziert werden, Phasen können addiert werden.

    Für den Quotienten gilt

    z = z1 / z2 = r1 / r2 * ej(𝜑1 - 𝜑2)

    Also die Beträge werden dividiert und die Phasen subtrahiert.


    In der Aufgabe haben wir drei komplexe Zahlen:

    z1 = z2 = 0,5jω + 1

    z3 = e0,5jω

    die sich durch z = 1/z1 * 1/z2 * 1/z3 zusammensetzen.


    Zur Berechnung der gesamten Phase berechnet man also die Phase jeder komplexen Zahl einzeln und zieht sie voneinander ab.

    arg(z1) = arg(z2) = arctan(0,5ω / 1)

    arg(z3) = 0,5 ω

    arg(z) = - 2 * arg(z1) -arg(z3) = - 2 * arctan(0,5 ω) - 0,5 ω



    Die ganze Herleitung musst du natürlich nicht machen, wenn du die folgende Rechenregel im Kopf hast:

    z = z1 * z2 = r1 * r2 * ej(𝜑1 + 𝜑2)

    Beträge werden multipliziert, Phasen werden addiert.

    Auf z = z1 / z2 kommt man dann auch direkt, weil z = z1 / z2 = z1 * z2-1


    Auf die selbe Art kommt man auch schnell auf den Amplitudengang.