Klausur Juli 2018 Aufgabe 4c

Hey Simon, Der Amplitudengang ist konstant und beträgt 1 bei einer Totzeitglied bzw 0 db wenn du es umrechnest.

Die Phase ergibt sich aus dem Argument der der Exponentialfunktion. phi=-omega*T_totzeit

Grüß

Und wie komme ich denn dann konkret auf die Amplitude und den Phasengang, ohne den Nenner auszumultiplizieren? Ist das überhaupt möglich?

Bei dem Phasengang komme ich auch nicht dahinter wie das zustande kommt... Ich dachte phi=-arctan(omega*T). Woher kommt denn das *2 vor und das -0,5omega hinter dem arctan?? Kannst du das evtl. etwas ausführlicher erklären?

Danke im Voraus.

Grüße

Für den Betrag also[tex]A(\omega)=|F(j\omega)|[/tex] gilt folgendes:

[tex]|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}[/tex]

[tex]|z|² = |z²|[/tex]

[tex]|z²|= z^{*}\cdot z = (x- jy) \cdot (x+jy) = x² + y²[/tex]

So kommt man ohne die Ausmultipliziererei und ewige Rechnerei auf den absoluten Amplitudengang.

Im Skript auf Seite 45 steht es auch nochmal in der Form:

[tex] F(j\omega) = A \cdot e^{j\phi(\omega)} = \frac{K}{1+j\omega T}[/tex]

[tex] A(\omega) = \frac{K}{\sqrt{1+(\omega T)^{2}}}[/tex]

wenn man beides zusammen anwendet dann kommt man auf das Ergebnis für den Amplitudengang im Bild oben.

Grüße

aber hier hat man (5jw+1)^2

• Betrag von 5jw+1 ist ja klar

Das wird sqrt(1+(5w)^2)

Aber betrag von komplette hoch 2 muss man erst ausmultiplizieren oder ? Weil es hat imaginar anteil

Ansonsten ist ja klar.

Wenn du [tex]\sqrt{1+5j\omega}[/tex] quadrierst fällt die Wurzel einfach weg. Und weil [tex]|z^{2}|= |z|^{2}[/tex] ist, und das Quadrat einer komplexen Zahl [tex]z^{2}=(a \pm jb )^{2}=(a+jb )\cdot (a-jb )= a^{2} + b^{2}[/tex]ist, ist es egal ob du erst ausmultiplizierst oder erst den Betrag nimmst

sqrt((1+5jw)^2)^2)

Das ist meine frage wie kannst du es auflösen ??

Du hast hier eine Multiplikation von zwei komplexen Zahlen. Bei einer Multiplikation werden auch die Beträge der komplexen Zahlen multipliziert.
Du hast also [tex]|z_1| \cdot |z_2| = \sqrt{1^2+(5w)^2} \cdot \sqrt{1^2+(5w)^2} = 1^2+25w^2[/tex]

vielleicht mache ich be Fehler aber ich kann diese Aufgabe nicht ohne aus Multiplikatoren lösen ... und was ist hier die Vereinfachung meiner Lösung?

kann jemand bitte seinen Rechenweg zum Phasengang zeigen ... ich bekomme es nicht mit der 2 davor hin

Bei dem Ausrechnen des Argumentes, wurde sich hier einer Rechenregel der komplexen Zahlen bedient: Nämlich, dass bei einer Multiplikation von komplexen Zahlen das Argument summiert wird.
[texblock]Arg(z_{ges}) = Arg(z_1)+Arg(z_2)[/texblock]
In diesem Fall also: [texblock]Arg(z_{ges}) = -\arctan(0,5\omega) -\arctan(0,5\omega) [/texblock]

Man könnte auch erst die komplexe Zahl ausmultiplizieren und dann den [tex]\arctan()[/tex] für die neue komplexe Zahl bilden. Darauf lässt sich dann die folgende Rechenregel anwenden:
[texblock]\arctan(x) + \arctan(y) = \arctan\left(\frac{x+y}{1-xy}\right) = \arctan\left(\frac{\omega}{1-0,25\omega^2}\right)= \arctan\left(\frac{0,5\omega+0,5\omega}{1-0,5\omega\cdot0,5\omega}\right)[/texblock]

Oder man rechnet es einfach wie gehabt mit [tex]\arctan\left(\frac{\omega}{1-0,25\omega^2}\right)[/tex] aus. Dies führt auch zum richtigen Ziel.

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