Klausur SOse20 Gedächtnisprotokoll und lösungswege

    9 Aufgaben. Keine davon kurzfragen.


    9. Aufgabe Code:

    Der Code implementiert Fixpunkt Iteration für ein LGS. Es wird gefragt, wie man die numerische Stabilität verbessern kann. Meine Vermutung ist, ein 0<Delta<1 einzuführen, dass als Dämpfungsfaktor wirkt.

    Dh in der for Schleife:

    X= delta*A*x


    Das verringert die Konvergenzrate aber erhöht die Stabilität.?

    Ja das war sehr sicher die Vektoriteration. Normierung implementieren war auch meine Lösung.

    Aufgaben (ohne Reihenfolge) die ich noch weiss:


    Newtonverfahren: zuerst ein 2x2 LGS in Nullstellenform umformen, dann Jacobimatrix bilden. Einen Schritt des Newton-Verfahrens berechnen. Mit anderem Startpunkt erklären, wieso es nicht geht (weil dann Jacobi-Matrix singulär).


    LR-Zerlegung: es war L, R, P gegeben. Vorgegebenes Ax = b lösen mit allen Zwischenschritten (LRx = Pb, Ly = Pb, y = Rx). Frage ob (andere?) Matrix als Cholesky-Zerlegung möglich ist (LL^T) (nein, war symmetrisch aber nicht pos. definit). Mehr fällt mir dazu gerade nicht ein.


    QR-Verfahren: ein Schritt rechnen, mit Q, R gegeben. Dann Abschätzung für Eigenwerte auf das Ergebnis geben (Gershgorin).


    Ausgleichsrechnung: das Problem aufstellen (mit x, y und Modell y=at2+bt). Normalengleichung lösen. Womit geht es besser (oder so ähnlich)? QR Zerlegung da numerisch stabiler.


    Numerisch Integrieren: vorgegebene Quadraturformel mit zwei Variablen auf höchsten Exaktheitsgrad bringen. Nachweisen welcher dieser dann ist und das kein höherer. Noch mehr, aber weiss es gerade nicht. Edit: da war noch ne Frage, welches Konvergenzverhalten man für summierte QF erwartet (O(hm+1 also h2)


    Polynominterpolation: drei allgemeine Punkte gegeben (-h, 0, 2h) und allgemeine Fkt f(x). Daraus entweder mit Newton oder Lagrange ein Polynom basteln. Dann Näherung an Ableitung an Stelle x=0 geben durch Ableiten des Polynom. Nachweis das Fehler wie O(h2) (über Taylorreihen aufstellen). Womöglich noch etwas.


    Runge-Kutta-Verfahren: Butcher-Tableau (einstufig) gegeben, war implizit. Verfahrensvorschrift ermitteln. Dann kam was, weiss nicht genau. Dann Nachweis, das Verfahren nicht A-stabil ist. Nenne eines das A-Stabil ist. Noch eine Teilaufgabe.


    Differenzenschema: -u''+u = x2, an den Rändern 0 (auf x = [0,1] war das Problem). Schrittweite 1/3. Diskretisieren, Matrix aufstellen, Ergebnis berechnen. Frage, ob es diskret stabil ist (?) -> ja, weil diagonaldominant und M-Matrix.


    Matlab Aufgabe s.o.


    Ich fand die Klausur geil, richtiges Geschenk vom Schmidt. :)

    Sehr gute Zusammenfassung, danke!

    Beim RK verfahren was du nicht mehr wusstest, war, wie man das lösen kann. Weil die verfahrensvorschrift war irgendwas wie:


    Yn+1 = y*h cos(1/2yn + 1/2yn+1)

    Wie würden Sie Vorgehen um zu lösen?


    Ich habs dann mit ner Identität probiert.

    Yn+1 = y*h [cos(1/2yn)*cos(1/2yn+1)-sin(1/2yn)*sin(1/2yn+1)]


    Hab dann gemerkt dass sich das auch nicht schön auflösen lässt und dann gesagt Newtonverfahren bzw irgendein anderes konvergentes Verfahren zu verwenden.