WS 2016 Aufgabe 2f

1. offizieller Beitrag

    Ich weiß zwar nicht, ob es die schnellste Möglichkeit ist, aber man kann erst nach dy integrieren (Subst. 1 Art dann partielle Integration) und dann den Term wieder nach x ableiten. Schau dir die Integration bzw. Ableitung auf Ableitungsrechner.net an, falls du Probleme hast.

    Mann muss doch hier beim Integrieren nach y doch gar nicht Substitution machen, sondern lediglich per part. Int arctan integrieren.

    Wird hier nicht das x^2 in der Klammer einfach als Konstante gesehen bei der Int nach y ?

    ja, allerdings ist arctan(constante*x) ja was anderes als arctan(x) und somit können Fehler entstehen. Mit der Substitution macht man da keine Fehler (ohne muss man sich merken, was sich verändert)

    • Offizieller Beitrag

    Es ist bei diesem Aufgabentyp nicht nötig die Funktion g(x,y) im Integral zu integrieren - Substitution hin oder her, die Stammfunktion des Arctan ist nicht angenehm. Man darf Integral und Ableitung einfach vertauschen.

    Es gilt: pasted-from-clipboard.png



    Konkret auf dieses Beispiel heißt das, dass man erst pasted-from-clipboard.png nach dx ableitet und danach nach dy in den Grenzen [0,1] integriert, anstatt erst nach dy zu integrieren und danach nach dx zu differenzieren. Für die Ableitung nach dx erhalte ich bei mir pasted-from-clipboard.png. Das Integral nach dy ergibt sich dann zupasted-from-clipboard.png.


    Ich hoffe mein Rechenweg ist verständlich und nachvollziehbar. Mein Ergebnis stimmt mit dem aus der Filebase Mathematik II < Musterklausuren < WiSe 16/17 Lösungen ohne Rechenweg überein … ;)

    Wenn man zuerst Ableitet und dann nach dy integriert, da kriegt man ja als Stammfunktion ln(u) raus mit der unteren grenze 0 und der obere grenze x^4+1. Ist das Integral dann nicht definiert, da man 0 nicht in ln einsetzen kann?

    Du musst auch die Grenzen mit transformieren bei Substitution. Ich habe x^4y^2+1=u gesetzt und wenn ich hier meine Grenzen einsetze komme ich auf ein Intervall von 1 - x^4+1 und damit hast du keine Probleme und kommst auf das oben stehende Ergebnis.

    • Offizieller Beitrag

    Bei dem Integral kann man sich mit einem kleinen Trick behelfen: pasted-from-clipboard.png.


    Wenn man mit 1 = x^3/x^3 erweitert ergibt sich . Da x im Integral nach dy eine Konstante ist kann man den x-Term, welcher unabhängig von y ist, vor das Integral ziehen.

    Man kann bei der Stammfunktion ohne Probleme y = 0 einsetzten, da man in dem Fall ln(0*x^4 + 1) = ln(1) = 0 erhält. Damit wird auch der Wert der gesamten unteren Grenze zu 0.


    Vielleicht ist das nun etwas klarer …